Algebra 1 und 2 [Lecture notes] by Burkhard Külshammer

By Burkhard Külshammer

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Handbook of Algebra Vol III

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Da beide die selbe Zahl an Elementen haben, ist also F = F. 6 Ein Körper K mit 212 Elementen hat also Teilkörper mit 2, 22 , 23 , 24 , 26 , 212 Elementen. 43 7. 1 (Algebraische, transzendente Körpererweiterung) Sei L | K eine Körpererweiterung. Ein b ∈ L heißt algebraisch über K, falls ein Polynom ϕ ∈ K[X] \ {0} mit ϕ(b) = 0 existiert. Andernfalls heißt b transzendent über K. Sind alle b ∈ L algebraisch über K, so heißt L | K eine algebraische Körpererweiterung. Anderenfalls bezeichnet man diese als transzendente Körpererweiterung.

Daher seien [M : L] und [L : K] endlich. Wähle K-Basis a1 , . . , am von L und L-Basis b1 , . . , bn von M. Wir zeigen, dass die Elemente ai bj mit i = 1, . . , m, j = 1, . . , n eine K-Basis von M bilden. 38 n j=1 yj bj . Für j = m n i=1 j=1 xij ai bj . Zum Beweis sei z ∈ M. Dann existieren y1 , . . , yn ∈ L mit z = 1, . . , n existieren Elemente xij ∈ K mit yj = m i=1 xij ai . Also z = m Seien jetzt Elemente tij ∈ K gegeben mit m i=1 n j=1 tij ai bj = n j=1 tij ai bj = 0. i=1 ∈L Da b1 , .

6 n−1 In der obigen Situation gilt, µ = (X − b)(X − bp ) · . . · (X − bp ). 50 8. Polynome und Codes • Ziel der Codierungstheorie: – sichere Datenübertragung und -speicherung (Funkverkehr zu Satelliten, Mobilfunk, CD, DVD, . ) – automatische Erkennung und Korrektur von Übertragungsfehlern (Rauschen, Staub, Kratzer, Materialfehler, . ) • durch geeignete Codierung und Decodierung: / Codierer Nachricht / Kanal O / Decodierer / Nachricht Rauschen Dabei gelten folgende Begriffe: Nachricht Ein Vektor in Kk .

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